Hakekat Matematika

            Kata matematika berasal dari perkataan Yunani mathematique, yang berarti ilmu untuk pengetahuan. Jadi bedarsarkan etimologis perkataan matematika berarti, ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar. James dan James ( 1976 ) dalam kamus matematikanya mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran,dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak terbagi ke dalam tiga bidang. Sementara Johnson dan Rising (1972) dalam bukunya mengatakan bahwa matematika adalah bahasa yang menggunakan yang didefinisikan dengan cermat, jelas, dan akurat, reprensentasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa  simbol mengenai ide daripada bunyi. Berdasarkan pendapat di atas maka disimpulkan bahwa ciri yang sangat penting dalam matematika adalah disiplin berpikir yang didasarkan pada berpikir logis, konsisten, inovatif, dan kreatif. Matematika berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan, dan menggunakan rumus matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan melalui model matematika yang dapat berupa kalimat matematika dan persamaan matematika, diagram, grafik, atau tabel. Tujuan umum pendidikan matematika adalah untuk dapat memiliki ;

 

  1. Kemampuan yang berkaitan dengan matematika dengan matematika yang dapat digunakan dalam memecahkan masalah matematika, pelajaran lain ataupun masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata.
  2. Kemampuan menggunakan matematika sebagai alat ataupun sarana komunikasi.
  3. Kemampuan menggunakan matematika sebagai cara bernalar yang dapat dialihgunakan pada setiap keadaan, seperti berpikir kritis, berpikir logis, berpikir sistematis, bersifat objektif, bersifat jujur, bersifat disiplin dalam memandang dan menyelesaikan suatu masalah.

Hakekat matematika dapat diketahui, karena objek penelaahan matematika, yaitu sasarannya telah diketahui, sehingga dapat pula diketahui bagaimana cara berpikir matematika itu. Matematika tidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan serta operasi-operasinya, melainkan juga unsur ruang sebagai sasarannya. Namun menunjukan kuantitas seperti itu belum memenuhi sasaran matematikan yang lain, yaitu yang ditujukan kepada hubungan, pola, bentuk, dan struktur. Sasaran atau objek penelaahan matematika adalah fakta, konsep, operasi, dan prinsip. Objek penelaahan tersebut menggunakan simbol-simbol yang kosong dalam arti, dalam arti ciri ini memungkinkan dapat memasuki wilayah bidang studi atau cabang lain. Fakta merupakan konvensi-kovensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Contoh fakta simbol “3” secara umum sudah dipahami sebagai bilangan “tiga”. Jadi jika disajikan angka “3” orang dengan sendirinya akan terbayang dalam pikirannya bilangan “tiga”. Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklarifikasikan sekumpulan objek.Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konep yang didefinisikan. Dengan konsep itu kita dapat membedakan mana merupakan contoh segitiga dan mana yang bukan segitiga. Prinsip adalah objek matematika yang kompleks. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana prinsip merupakan hubungan antara berbagai objek dasar matematika, contoh prinsip berupa aksioma, teorema,sifat dan sebagainya. Matematika adalah suatu alat untuk mengembangkan cara berpikir. Oleh karena itu mateamatika sangat diperlukan baik untuk kehidupan sehari-hari maupun dalam menghadapa kemajuan IPTEK sehingga matematika perlu dibekalkan kepada setiap orang. Namun, matematika yang ada pada hakekatnya merupakan suatu ilmu yang cara bernalarnya deduktif, formal dan abstrak yang harus diberikan kepada orang yang cara berpikirnya masih pada tahap operasi konkret. Dari uraian tersebut, jelas bahwa penelaahan matematika tidak sekedar kuantitas, tetapi lebih dititik beratkan kepada hubungan pola, bentuk, struktur, fakta, operasi dan prinsip. Sasaran kuantitas tidak banyak artinya dalam matematika. Hal ini berarti bahwa matematika itu berkenaan dengan gagasan yang berstruktur yang hubungan-hubungannya diatur secara logis, dimana konsep-konsepnya abstrak dan penalarannya deduktif. Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atau notasi matematika yang bernilai global. Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.

Kecepatan Akses Internet

Ketika kita melakukan akses internet, maka kita pasti diperhadapkan dengan yang namanya ukuran kecepatan pengiriman atau penerimaan data. Ukuran kecepatan akses internet pada dasarnya adalah sesuai dengan jenis koneksi yang ditawarkan oleh penyedia jasa layanan internet atau ISP (Internet Service Provider). Ukuran kecepatan akses internet disebut juga dengan istilah bandwidth, yaitu untuk menunjukkan berapa banyak data/ informasi yang dapat disalurkan dalam tiap detiknya ketika kita mengirim ataupun menerima data. Besar bandwidth dinyatakan dengan bit, megabit, gigabit, dan terrabit. Ukuran terkecil dari ukuran kecepatan akses internet adalah 1 bps (bits per sekon). Ukuran kecepatan lain juga yang digunakan adalah: byte, kilobyte, megabyte, gigabyte, dan terrabyte.
Data ukuran kecepatan akses internet dapat dilihat sebagai berikut:

Ketika kita berlangganan internet, maka kita akan mendapatkan jatah ukuran kecepatan akses/ bandwidth dari ISP sesuai dengan jenis koneksi yang kita gunakan. Contohnya ketika kita menggunakan Dial-up, maka bandwidth yang ditawarkan oleh ISP adalah 56 Kbps – 153 Kbps sedangkan untuk jenis Broadband atau disebut juga jalur pita lebar, bandwidth yang ditawarkan adalah 384 Kbps – ukuran Mbps.

Namun, terlepas dari hal tersebut diatas, kecepatan akses internet dipengaruhi juga oleh berbagai faktor jadi ketika kita mengakses internet atau sebuah data, tidak secara otomatis proses transfer data dapat dilakukan sesuai dengan besar data itu dalam setiap detiknya.
Bayangkan ketika kita ingin pergi ke rumah saudara kita di suatu kota yang jaraknya dengan tempat kita misalnya 100km. Kita berangkat dengan menggunakan sepeda motor yang pada penunjuk kecepatannya terdapat ukuran 150km per jam kecepatan maksimal. Jika kita melaju dengan kecepatan maksimal 150km per jam tanpa hambatan maka kita akan sampai di tempat tujuan dalam waktu 67 menit. Tetapi kita tahu, bahwa ketika kita melalui jalan raya, pastilah disitu terdapat begitu banyak kendaraan yang lalu lalang, tikungan, tanjakan, pertigaan, perempatan, mungkin juga kita melalui jalan yang berbatu, kita harus berhenti untuk mengisi bahan bakar, dan lain sebagainya. Begitu kita sampai di kota tujuan kita, kita masih harus menuju ke rumah yang kita maksud yang mungkin juga harus melalui jalan yang macet sebelum kita tiba di tempat tujuan. Setelah itu kita harus pulang dengan kondisi jalan yang mungkin demikian juga, atau mungkin kita sudah harus membawa barang bawaan yang membuat kedaraan kita menjadi lebih berat, sehingga kita harus melaju dengan kecepatan lebih rendah.
Demikian juga dengan proses akses internet, ketika kita mengunjungi sebuah situs, kita melakukan permintaan ke server situs yang bersangkutan untuk memperoleh informasi yang terdapat pada situs tersebut. Dari komputer kita, permintaan itu dikemas sebagai sebuah paket kiriman kemudian dikirim ke server, yang melalui ISP ditentukan besar bandwidth yang kita miliki untuk mengirim paket tersebut sesuai jenis koneksi yang kita gunakan. Dalam proses pengiriman data tersebut, data akan melalui banyak halangan dan rintangan ibaratnya kita mengendarai kendaraan. Harus melewati media yang bisa dilalui dengan cepat semisal melewati kabel serat optik yang cepat atau juga harus melewati media gelombang radio menuju satelit, yang bisa jadi teganggu oleh badai, ibaratnya kita melawati jalan berlubang dan berbatu, ditambah juga banyaknya data yang harus diproses oleh server yang dituju sehingga permintaan kita harus menunggu ibaratnya kita berada ditengah kemacetan ditengah kota. Setelah permintaan dilayani, maka informasi yang kita butuhkan akan dikirimkan kembali ke komputer kita melalui proses yang sama, sampai ke komputer kita. Sehingga waktu yang sebenarnya kita perhitungkan harus lebih dari yang sebenarnya.
Dengan uraian diatas, kita dapat uraikan faktor yang menghambat proses akses internet yaitu:
1. Kualitas perangkat komputer yang kita gunakan
2. Sambungan kabel telepon lokal
3. Kekuatan sinyal yang dipergunakan
4. Jenis koneksi yang kita gunakan
5. Keadaan proses pengiriman dan penerimaan data
6. Jarak client dan server
7. Kondisi server,
8. Ukuran data yang akan di upload/ download

MENGHITUNG WAKTU DOWNLOAD SEBUAH FILE

Misalnya kita ingin mendownload sebuah file dengan ukuran 4 MB, dan kita menggunakan jenis koneksi telkom speedy dengan bandwidth 384 Kbps. Berapa waktu yang kita butuhkan untuk mendownload file tersebut?

Pembahasan:
Bandwidth = 384 Kbps
Ukuran file = 4 MB (4096 KB)
Karena satuan bandwidth-nya adalah Kbps (kilobit per secon) maka kita harus mengubah satuan ukuran file KB (kilobyte) menjadi Kb (kilobit). 1 KB = 8 Kb
Jadi, ukuran file 4 MB (4096 KB) = 32.768 Kb (4096 x 8)
Jadi waktu yang dibutuhkan adalah 32.768 : 384 = 85,3 detik
Dari hasil di atas, perlu diingat juga bahwa untuk hasil perhitungan di atas adalah perhitungan secara teori saja. Karena kenyataan yang sebenarnya adalah bergantung pada faktor yang mempengaruhi seperti yang sudah kita bahas sebelumnya.
Demikian juga untuk menentukan berapa besar bandwidth yang kita peroleh ketika kita mendownload sebuah file.
Misalkan kita mendownload sebuah file dengan ukuran 4MB dengan waktu download selama 5 menit. Maka besaran bandwidth yang kita dapatkan pada saat itu adalah?

Pembahasan
Ukuran file = 4MB
Waktu dowload = 5 menit
Karena ukuran yang digunakan pada bandwidth adalah menggunakan satuan Kbps, maka
kita harus mengubah ukuran MB ke ukuran bps. 1 MB = 1024KB; 1 KB = 8 Kb. Jadi 4MB = 4096 KB = 32.768 Kb (4096 x 8). Karena waktunya juga menggunakan ukuran detik (second), maka kita harus mengubah ukuran menit menjadi ukuran detik. 1 menit = 60 detik. 5 menit x 60 = 300 detik. Jadi besar bandwidth yang kita dapatkan saat kita mendowload file 4MB tersebut adalah 32.768 Kb : 300 detik = 109,23 (dibulatkan 109 Kbps)

Berikut ini beberapa data ukuran kecepatan akses internet sesuai jenis media penghubungnya:

KECEPATAN AKSES INTERNET

Ukuran kecepatan akses internet dinyatakan dengan byte per second disingkat Bps atau bit per second disingkat bps

1 Bps = 8 bps (bit per second)

Ukuran kecepatan yang lain :

1 KBps = 1000 Bps         (Kilo Byte per second)

1 MBps = 1000 KBps      (Mega Byte per second)

1 GBps = 1000 MBps      (Giga Byte per second)

1 TBps = 1000 GBps       (Tera Byte per second)

 

Besarnya kecepatan akses internet ditentukan oleh lebarnya band width. kecepatan akses internet bisa diukur oleh suatu program software aplikasi seperti speedtest.net

 

Faktor-faktor yang mempengaruhi kecepatan akses internet dipengaruhi oleh :

1. Faktor internal (faktor yang disebabkan dari dalam) :

a. Perangkat Keras (Hardware)

b. Perangkat Lunak (Software)

2. Faktor eksternal (faktor yang yang disebabkan dari luar)

a. Kepadatan lalu lintas jaringan

b. ISP

 

CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL FUNGSI KOMPOSISI

Contoh soal 1:

 Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x2 + 6x – 7, maka g(x) = …
 Penyelesaian :
(f o g)(x)     = 2x2 + 6x – 7
    f(g(x))     =  2x2 + 6x – 7
 2(g(x)) + 3 = 2x2 + 6x – 7
2 (g(x))       =  2x2 + 6x – 4
jadi      g(x) = x2 + 3x – 2
Contoh soal 2 :

 

Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x2 – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x2 – 6x – 1
maka f(x) = ….
Penyelesaian :

(f o g)(x)            = 2x2 – 6x – 1

 f (g(x))             = 2x2 – 6x – 1
 f ( x2 – 3x + 1)  = 2x2 – 6x – 1
                           = 2 ( x2 – 3x + 1 ) – 3
Jadi       f (x)      = 2x – 3
Contoh soal 3 :
Jika f(x) = x2 + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….
Penyelesaian :
 g(8) = 8 – 12 = – 4
jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)2 + 3(-4) = 16 – 12 = 4
Contoh soal 4 :
Diketahui (f o g)(x) = x2 + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….

 

Penyelesaian :
(f o g)(x)     = x2 + 3x + 4
f (g(x))        =  x2 + 3x + 4
Untuk    g(x)    = 3              maka
           4x – 5   = 3
                   4x = 8
                    x = 2
Karena  f (g(x))  =  x2 + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2
Sehingga :
f (3) =  22 + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14